Saturday, June 10, 2006

LIBRO I DE EUCLIDES

PROPOSICION 1

Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado.


DEMOSTRACION
Dados dos puntos A y B, por la definición tres de Euclides tenemos que A y B son los extremos de una recta, por el postulado tres de Euclides tenemos que (Para describir un círculo con cualquier centro y radio) podemos por cada uno de los puntos trazar una circunferencia de centro A y otra de centro B, y ambas de radio AB, luego la intersección de las dos circunferencias nos da origen a un punto C, entonces por la definición tres de Euclides tenemos que A y C, y B y C son los extremos de dos rectas respectivamente, siendo AB el radio de ambas circunferencias y C un punto en las circunferencias luego las líneas AC y BC son iguales a la línea AB luego por la definición veinte de Euclides (de figuras triláteras, un triángulo equilátero es el que tiene sus tres lados iguales), tenemos que como AC, BC y AB son los lados del triangulo ABC y por construcción son lados iguales luego el triangulo ABC es un triangulo equilátero.



PROPOSICIÓN 2

Para poner una línea recta igual a una línea recta dada con un extremo en un punto dado.



CONSTRUCCIÓN Y DEMOSTRACIÓN
Traza el segmento AB.
Dibuja el triángulo equilátero ABD.
Prolonga los segmentos DA y DB.
Construye el círculo de centro B y radio BC y el círculo de centro D y radio DG
BC=BG y DH=DG por ser radios del mismo círculo BG=AH ya que estamos restando segmentos iguales a segmentos iguales.
Pero cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí.
Por tanto AH=BC es el segmento buscado.


PROPOSICIÓN 3

Restar del mayor de dos segmentos dados un segmento igual al menor.


CONSTRUCCIÓN
Trazo una circunferencia con centro B y radio BD
Luego una con centro en D y radio DC.
Ahora otra con centro B y radio BF.
Ubicamos el segmento a restar en el mayor y por medio de circunferencias logramos ponerlo en el inicio del mayor para obtener la diferencia.


PROPOSICIÓN 4

Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos comprendidos iguales, también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales.

DEMOSTRACION
Dados los triángulos ABC y DEF, dos triángulos que tienen los dos lados AB, AC iguales a los dos lados DE, DF respectivamente, a saber, el lado AB al lado DE, y, el lado AC al DF; y el ángulo comprendido BAC igual al ángulo comprendido EDF.
Digo que, la base DC esa igual a la base EF, el triangulo ABC será igual al triangulo DEF, y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes, respectivamente, a saber, aquellos que son subtendidos por lados iguales, esto es, el ángulo ABC al DEF, y, el ángulo ACB al DFE.
Si el triangulo ABC se aplica sobre el triangulo DEF, de manera que el punto A caiga sobre el punto D, y la line4a recta AB sobre la línea recta DE; entonces, el punto B coincide con E, porque AB es igual a DE.
Y puesto que AB cae sobre DE, y que el ángulo BAC es igual al ángulo EDF se sigue que el lado AC debe coincidir con el lado DF.
Y puesta que AC es igual a DF, entonces el punto C debe coincidir con el punto F.
Puesto que B coincide con E, y C con F, entonces, la base BC debe coincidir con la base EF; porque sino, dos líneas rectas circundarían una región, así que BC es igual a EF.
De esta manera, todo el triangulo ABC coincide con todo el triangulo DEF, y es igual a el.
Y los ángulos restantes también coinciden con los ángulos restantes y son iguales a ellos, el ángulo ABC al ángulo DEF y el ángulo ACB al ángulo DFE.
Si, pues, dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales e iguales los ángulos correspondientes comprendidos por tales rectas iguales, tendrán las base3s iguales y el triangulo será igual al otro y serán iguales los demás ángulos, cada uno con su correspondiente, es a saber, los subtendidos por lados iguales.


PROPOSICIÓN 5

En triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales y, si los lados iguales se alargan, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí.

CONSTRUCCIÓN:
Sea F un punto cualquiera sobre BD; de la mayor AE córtese AG, igual a la menor AF.
Únase F con C, G con B.
DEMOSTRACIÓN
Puesto que los triángulos ACF, ABG
AF es igual a AG (por construcción),
AC es igual a AB (por hipótesis),
El ángulo comprendido A es común a los dos triángulos; por consiguiente, la base CF es igual a la base BG el triángulo ABG, los ángulos restantes iguales a los ángulos restantes respectivamente, es a saber, aquellos que son subtendidos por lados iguales.
El ángulo ACF al ángulo ABG.
El ángulo AFC al ángulo AGB.
Y puesto que todo AF es igual a todo AG, y dado que AB es igual a AC,
El resto BF es igual al resto CG.
Pero se probó que CF es igual a BG; por consiguiente, los dos lados BF, FC son iguales a los dos lados CG, GB respectivamente;
Y el ángulo BFC es igual al ángulo BCG en tanto que la base BC es común;
Por consiguiente, el triángulo BCF es también igual al triángulo CGB, y los ángulos restantes, respectivamente, a saber, aquellos que son subtendidos por lados iguales;
Por consiguiente el ángulo CBF es igual al ángulo BCG, y el ángulo BCF al ángulo CBG.
En consecuencia dado que se probó que todo ángulo ABG es igual al ángulo ACF; y en estos, el ángulo CBG es igual al ángulo BCF, él ángulo restante ABC es igual al ángulo restante ACB;
Y estos están en la base del triángulo ABC,
Y se probó que el ángulo CBF es igual al ángulo BCG; estos están debajo de la base.

PROPOSICIÓN 6

Si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a los ángulos iguales también serán iguales entre sí.


DEMOSTRACIÓN
Dado el triangulo ABC con las siguientes congruencias el ángulo ABC es congruente con el ángulo BCA. y tienen el lado BC en común luego por el segundo caso de congruencia de triángulos ALA, basta con probar que los lados AB y AC son congruentes, luego entonces partimos de decir que no son congruentes luego AB es mayor o menor que AC, luego existe un punto D en el segmento AB tal que AD es congruente con AC, luego por el primer caso de congruencia de triángulos tenemos que los triángulos ABC y ACB son congruentes, luego el lado AB es congruente con el lado AC.

1 Comments:

At 8:28 PM, Anonymous Anonymous said...

=O

 

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